MAKALAH MATERI HIMPUNAN - MATEMATIKA

Benda-benda yang berada di sekitar kita dapat dikelompokkan menurut sifat-difat tertentu. Benda-benda yang dimaksud disini dapat berupa bilangan, huruf, nama orang, nama kota dan sebagainya. Daftar kumpulan benda-benda yang memiliki sifat-sifat tertentu itu, disebut himpunan. Benda yang terdapat dalam satu himpunan disebut unsur, atau sering juga disebut elemen atau anggota. Untuk selanjutnya, dari ketiga istilah diatas, kita akan menggunakan istilah anggota untuk benda-benda yang terdapat pada suatu himpunan.

Suatu himpunan umumnya ditulis dengan huruf besar, seperti

A, B, C, D, X, Y, ……………

dan benda-benda yang menjadi anggota suatu himpunan, umumnya ditulis dengan huruf kecil, seperti

a, b, c, d, x, y, ………….

Bagaimana cara menulis suatu himpunan? Suatu himpunan ditulis dengan cara menulis anggota-anggotanya di antara tanda kurawal {}. Anggota yang satu dipisahkan dari anggota lainnya oleh tanda koma. Penulisan dengan cara seperti itu disebut penulisan cara daftar.

Contoh :

Jika A merupakan suatu himpunan yang aggotanya adalah nama buah-buahan, seperti salak, nanas, pisang, mangga, jambu maka himpunan A ditulis:

A = {salak, nanas, pisang, mangga, jambu}

Suatu himpunan dapat disajikan dengan cara yang lain, yaitu dengan cara kaidah. Penyajian dengan cara kaidah dapat dilakukan dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari benda-benda yang menjadi anggota himpunan tersebut.

Untuk memperjelas cara penulisan suatu himpunan, baik dengan cara daftar atau dengan cara kaidah, maka berikut ini disajikan beberapa contoh lainnya.

Contoh:

Himpunan bilangan ganjil positif yang lebih kecil dari 10, dapat ditulis

A = {1, 3, 5, 7, 9} atau A = {x | x = bilangan ganjil positif < 10}

Contoh:

Himpunan huruf-huruf hidup:

B = {a, e, i, o, u} atau C = {Z | Z = merek beberapa mobil jepang}

Contoh:

Himpunan beberapa nama buah-buahan:

D = {pepaya, mangga, pisang, jambu} atau D = { x| x = nama beberapa buah-buahan}

Suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan A dapat di tulis x Î A dan di baca “x adalah anggota himpunan A” . Suatu benda yang tidak merupakan anggota dari himpunan A atau sebaliknya yaitu himpunan A tidak mengandung anggota x,dapat di tulis menjadi x ÏA.

Contoh:

Jika A = {a,b,c,d} , maka a Î A, b Î A dan e Ï A

Contoh:

Jika A = {x | x = bilangan genap} , maka 1 Ï A, 2 Î A, 3 Ï A, 4 Î A.

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, Jika keduanya mempunyai anggota yang sama. Anggota yang dimiliki himpunan A juga di miliki oleh himpunan B dan sebaliknya, anggota himpunan B juga menjadi angota himpunan A. Persamaan antara himpunan A dan himpunan B ini dapat di tunjukan oleh A = B

Contoh:

Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {7, 1, 5, 3}, maka A = B karena {1 , 3, 5 , 7} = {7, 1, 5, 3} dan setiap anggota yaitu 1, 3, 5, 7 yang dimiliki himpunan A juga di miliki oleh himpunan B dan setiap anggota yaitu 7, 1, 5, 3 yang di miliki himpunan B juga dimiliki oleh himpunan A.

Perlu di perhatikan, himpunan tidak berubah nilainya meskipun susunan anggotanya berbeda.

Conto h:

Jika X = {9 ,10 ,9 ,11} dan Y = {11 ,9 ,10 ,11} maka X = Y karena {9 ,10 ,9 ,11} = {11 ,9 ,10 ,11} dan setiap anggota yang dimiliki Y juga dimiliki oleh X, Suatu himpunan yang tidak akan berubah nilainya, bila angota yg sama di hilangkan, jadi himpunan {9 ,10 ,11} nilainya sama dengan himpunan X dan Y

Dapat terjadi bahwa suatu himpunan tidak mempunyai anggota sama sekali .Himpunan yang demikian di sebut himpunan kosong dan di beri lambang Ø.

Contoh:

Misalnya A adalah suatu himpunan manusia yang tinggal dibulan. karna sampai saat ini bulan tidak dapat di huni oleh manusia, maka A adalah himpunan kosong dan di tulis A = Ø

Contoh:

Misalnya B = {x | x = Proffesor yang berumur 200 tahun}. Karena menurut statistic. Sampai saat ini tidak ada professor yang berumur sampai 200 tahun, maka Badalah himpunan kosong atau B = Ø

1.1 Hubungan antara Himpunan

Setiap anggota suatu himpunan bisa menjadi anggota himpunan yang lain. Misalnya, setiap anggota himpunan A juga menjadi angota himpunan B, maka himpunan A disebut bagian himpunan sejati dari himpunan B dan di tulis A Ì B dan di baca “A adalah bagian sejati dari himpunan B”, atau A terkandung oleh B”. Penulisan cara lain dari himpunan A yang menjadi himpunan bagian sejati himpuanan B adalah B É Adan dibaca “B mengandung A”. Jika A tidak merupakan himpunan bagian dari B, maka hubungan tersebut dapat di tulis A Ë B atau B É A

Contoh:

C = {1 ,2 , 3} merupakan himpunan bagian sejati dari A = {1 ,2 ,3 ,4 ,5} karena anggota himpunan C yaitu angka 1 ,2 dan 3juga merupakan anggota himpunan A dan di tulis C Ì A atau A É C

Contoh:

D = {a, c, e} merupakan himpunan bagian sejati dari E = {f ,e ,d ,c ,b ,a} karena huruf a ,c dan C merupakan hiumpunan anggota D dan juga merupakan anggota himpunan E.

Perhatikan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B di tunjukkan oleh alambang A Ì B atau B É A. Di sini himpunan B atau A ¹ B karena bila A = B, maka A akan merupakan himpunan bagian sejati dari B dan sebaliknya himpunan B juga merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan A, peristiwa tersebut dapat di tunjukkan dengan lambang:

A Í B atau B Ê A

Contoh:

Bila X = {a, b, c} dan Y = {b , c, A}, maka X = Y merupakan himpunan bagian sejati dari y dan sebaliknya Y merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan X, atau di tulis X Í Y atau Y Ê X.

Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, merupakan bagian dari setiap himpunan. Atau dengan perkataan lain, setiap himpunan slalu mengandung himpunan kosong. Lalu dapatkah kita menghitung berapa banyak Himpunan bagian yang di miliki oleh suatu himpunan jika jumlah anggotanya tertentu?untuk itu ,coba kita lihat himpunan A = {3}. Himpunan ini hanya memiliki satu anggota yaitu angka 3. Himpunan bagian yang dimiliki oleh himpunan A adalah Sembarang himpunan beranggotakn angka 3, misalnya P = (3), dan sembarang himpunan kosong misalnya K = 0. Jadi jumlah himpunan bagian yang dimiliki cacahnya ada 2.

Sekrang jika himpunan yang akan dicari jumlah himpunan bagiannya adalah Q = {a ,b}, maka himpunan bagian sejatinya adalah A = {a}, B = {b},C = {a ,b} dan D = 0. Jadi jumlah himpunan bagian yang di miliki oleh himpunan Q = {a ,b} cacahnya adalah 4 himpunan.

Untuk mengetahui secara cepat jumlah himpunan bagian sejati yang di miliki oleh suatuhimpunan yang memiliki n anggota dapat dengan menggunakan rumus:

2”

Contoh:

Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh A = {3} adalah 2¹ = 2 yitu P = {3} dan K = 0

Contoh:

Jumlah himpunan bagian yang dimiliki oleh Q = {a ,b} adalah 2² = 4 yaitu A = {a}; B = {b}; C = {a, b} D = 0

Himpunan yang dibicarakan umumnya merupakan himpunan bagian sejati dari suatu himpunan yang memuat seluruh anggota. Himpunan itu disebut himpunan semesta, dan dilambangkan dengan U.

Contoh:

Berbicara mengenai abjad, maka himpunan semesta adalah himpunan semua abjad yaitu a sampai z.

Suatu cara yang sederhana untuk menggambarkan hubungan antara himpunan yang satu dengan yang lain, adalah dengan memakai diagram Venn-Euler atau sering disingkat dengan nama diagram Venn. Suatu himpunan ditunjukan oleh luas suatu bidang datar yang dapat berbentuk luas suatu lingkaran atau luas empat persegi panjang.

Cara lain yang dapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antar himpunan adalah dengan meggunakan diagram garis. Penyajian A Ì B dapat dilakukan dengan menulis B yang ditempatkan diatas A dan keduanya dihubungkan oleh garis lurus.

1.2 Operasi Himpunan

Pekerjaan seperti menjumlah, mengurang, mengali dan membagi suatu bilangan adalah aritmatika. Himpunan meskipun berbeda dengan bilangan dapat juga diopeasikan secara aritmatika. Operasi yang dilakukan adalah gabungan, irisan, selisih dan komplemen.

Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau anggota himpunan B atau keduanya. Gabungan himpunan A dan himpunan B ini dilukiskan dengan lambang A U B dan dibaca “gabungan himpunan A dan B”.

Irisan (interseksi) dari himpunan A dan himpunan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A tetapi juga merupakan anggota himpunan B. Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilukiskan dengan lambang A Ç B.

Contoh:

Misalkan P = {a, b, c, d} dan Q = {a, b, e, f} maka P – Q = {a, b}

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya merupakan selisih antara himpunan semesta U dan himpunan A. dan himpunan A. Komplemen dari himpunan A ditulis A.

Contoh:

pada diagram Venn berikut, komplemen dari himpunan A adalah bagian luas yang tidak termasuk bagian luas A dan dalam diagram dilukiskan sebagai bagian luas yang diarsir. Anggapan yang digunakan disini adalah himpunan semesta U merupakan luas segi empat panjang.

1.3. Pasangan Urut

Himpunan yang urut-urutan anggotanya tertentu yaitu yang bernomer urut 1, 2, 3…… dan seterusnya disebut himpunan urut. Daftar anggota himpunan urut tidak ditempatkan diantara dua tanda kurawal akan tetapi di antara tanda kurang biasa.

Contoh:

{a, b, c} adalah himpunan yang memiliki tiga buah anggota yang urut-urutan penulisnya boleh ditulis sembarang. (a, b, c) adalah suatu himpunan urut dengan tiga buah anggota yang urut-urutan penulisnya tidak boleh diubah dan harus seperti itu.

Bila suatu himpunan hanya memiliki dua anggota di mana satu anggota dinyatakan sebagai nomer satu dan yang lain dinyatakan sebagai nomer dua, maka himpunan tersebut dinamakan pasangan urut.

Contoh: Pasangan urut (1, 4) dan (4, 1) adalah berbeda.

Contoh: Pasangan urut boleh memiliki anggota pertama dan anggota kedua yang sama seperti (1, 1) , (2, 2), (5, 5)

1. Set Komplemen

S adalah sample spoce (Universal set) dan A adalah suatu set dimana A Ì S, maka S dikurangi A disebut:

1. Komplemen A

2. Ditulis A’ atau Ã artinya bukan A.

(periksa pengertian no.5).

3. Himpinan komplemen terhadap S.

Artinya set angguta sample spoce yang tidak termasuk set A.

Contoh:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = Ã = {5, 6, 7, 8, 9}

B = B = {1, 8, 9}

(A U B)’ = {8, 9}

(A n B)’ = (0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}

A’ U B’ = {1, 5, 6, 7, 8, 9}

A’ B’ = {8, 9}

2. Perkalian dari Set

A dan B adalah dua buah set perkalian dari set A dan set B ditulis A X B, dibaca A silang B.

Contoh:

1. A = {1, 2}

B = {a, b}

A X B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

B X A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Dengan demikian A X B ≠ B X A.

2. 0perasi ini dapat digunakan dengan menggunakan matrik.

X	1	2
a	(a, 1)	(a, 2)
b	(b, 1)	(b, 2)

3. selisih dari set

A dan B adalah dua buah set, maka A selisih B dapat ditulis A – B, dan B selisih A ditulis B – A.

Contoh:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7}

A – B = {1, 2, 3}

B – A = {6, 7}

4. Venn diagram

1. pengertian

Diagram adalah suatu cara yang paling mudah untuk menggambarkan ide. Demikian pula teori set ini akan mudah dipelajari apabila dilukiskan dalam bentuk diagram.

Venn dan Euler telah berhasil menemukan suatu cara untuk melukiskan teori set tersebut, yaitu dengan menggunakan lingkaran, Elips, garis lengkung ataupun segi-segi banyak sebagai batas dari set.

Untuk menyatakan himpunan dengan gambar maka semua anggauta dari semua sample space (disebut pula semesta pembicaraan) ditunjukkan dengan titik-titik dalam persegi panjang atau lingkaran.

2. Contoh-contoh

Contoh 1.

Misalkan : S adalah universal set.

A Ì S A = elemen S

B Ì S B = elemen S

Jadi: S = A + B