MAKALAH MATERI DERET - MATEMATIKA

3.1 Pengertian Deret

Deret adalah barisan dari bilangan – bilangan yang di susun berurutan berdasarkan aturan tertentu. Setiap bilangan dalam barisan tersebut dinamakan “suku”, sehingga terdapat bilangan ke satu, ke dua, ke tiga dan seterusnya sampai ke n.

Cntoh:

I. 2, 4, 6, 8, 10,

II. 100, 90, 80, 70, 60

III. 1, 3, 9, 27,

IV. 1, 1/2, 1/4, 1/8,

Bentuk umum dari deret atau barisan I, II, III, IV

Adalah : S1, S2, S3, S4

S1 = suku ke satu yang merupakan bilangan tertentu

Sn = suku ke n merupakan bilangan tertentu

Pada umum deret dapat di bedakan menjadi dua macam yaitu deret hitung ( deret aritmatika ) dan deret ukur atau deret kali ( deret geometri )

3.2 Deret Hitung (Deret aritmatika)

Deret hitung adalah deret yang setiap sukunya di tentukan dengan cara menambahkan bilangan yang sama terhadap suku sebelumnya .

Misal : 12, 14, 16, 18, 20 Atau

20, 17, 14, 11, 8

Pada deret pertama terlihat bahwa setiap suku di peroleh dengan cara menambahkan bilangan 2 (dua) terhadap suku sebelumnya,sedangkan pada deret ke dua dengan cara menambahkan bilangan – 3 (negatip tiga),

Bilangan 2 atau – 3 tersebut dinamakan “beda atau selisih” ( =b).

1.Mencari suku ke n pada deret hitung.

Misalkan suku pertama (S1) besarnya = a

Maka : S1 = a

S2 = s1 + b = a + b

S3 = s2 + b = (a+b) + b = a + 2b

S4 = s3 + b = (a+2b) + b = a + 3b

S5 = s4 + b = (a+3b) + b = a + 4b

Sehingga dapat dirumuskan bahwa “ suku ke n dari suatu deret hitung dapat di peroleh dengan cara menambahkan dengan bilangan (n-1) b”.

1. Mencari suku ke n pada deret ukur.

Misalkan suku pertama (S1) besarnya = a1 maka :

S₁ = a

S2 = S1, p = ap

S₃ = S2, p = (ap) p = ap²

S4 = S3, p = (ap²) p = ap³

S5 = S4, p = (ap⁴) p = ap⁴

3.4 Penggunaan Deret Hitung dan Deret Ukur dalam Ekonomi

1. Penggunaan deret hitung dalam ekonomi

Deret hitung dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah perkembangan perusahaan atau pertambahan produksi bahan makanan

Contoh 1.

Pada tahun pertama sesuatu perusahaan memproduksi 1.500 unit barang. Kenaikan produksi setiap tahun direncanakan sebanyak 400 unit.

Hitunglah besarnya produksi pada tahun ke 10 dan jumlah barang yang di produksi selama 10 tahun tersebut.

Jawab :

a) Sn = a + (n-1)b

Dimana : a = 1500 , b = 400 dan n = 10

^S10 = 1500 + (10-1)400

^S10 = 1500 + (9x400) = 1500 + 3600

^S10 = 5100

Jadi besarannya produksi pada tahun ke 10 adalah 5100 unit

b) D_n = ½ n ( a + s_n)

Dimana : a = 1500 , n = 10 dan ^s10 = 5100

D10 = ½ , 10 (1500 + 5100)

D10 = 5 x 6600 = 33000

Jadi jumlah barang yang diproduksi selama 10 tahun pertama tersebut adalah 33000 unit

A. Mempunyai hutang sebesar Rp.200.000,- dengan kesanggupan membayar tiap bulan Rp 10.000,- ditambah bunga sebesar 2 % dari sisa hutangnya.

Hitunglah jumlah bunga yang dibayar oleh ^ setelah hutangnya lunas dan besarnya bunga pada angsuran ke 12.

Jawab :

Jumlah angsuran hutang adalah 200.000/10.000 = 20 kali bunga pada angsuran pertama = 0,02 x Rp 10.000,- = Rp 200,-.dengan demikian bunga dibayar pada setiap angsuran merupakan deret hitung.

a) D_n = ½ n {2a + (n-1)b}

Dimana : n = 20, a = 4.000 dan b = -200

D₂₀ = ½.20 {2x4000 + (20-1) (-200)}

D₂₀ = 10 {8000 + 19(-200)}

D₂₀ = 10 (8000 + 3800)

D₂₀ = 10 x 4200 = 42.000

Jadi jumlah bunga yang di bayar ^ setelah hutangnya lunas adalah Rp 42.000

b) Sn = a + (n-1) b

Dimana : a = 4000, b = -200 dan n = 12

^S12 = 4000 + (12-1) (-200)

^S12 = 4000 + 11(-200) = 4000 – 2200

^S12 = 1.800-,

Jadi besarnya bunga pada angsuran ke 12 adalah:

Rp 1.800

2. penggunaan deret ukur dalam ekonomi

Deret ukur dapat digunakan dalam menyelesaian masalah pertumbuhan penduduk dan bunga majemuk

p_n = Jualan penduduk pada tahun ke n

p₁ = Jumlah penduduk pada tahun pertama

R = Ratio jumlah penduduk pada dua tahun yang berurutan

n = Banyaknya tahun yang di amati

Contoh :

Jika diketahui jumlah penduduk pada tahun 1981 adalah 100.000.000 orang dan tingkat pertumbuhan per tahun sebesar 2%, maka berapakah jumlah penduduk pada tahun 1991 ?

Jawab :

Kita anggap bahwa tahun 1981 sebagai tahun ke 1 maka tahun 1991 adalah tahun ke (1991-1980) tahun ke 11 R = 100% + 2% = 102% = 1,02

Sehingga:

P¹¹ = ^p1^R ^(11-1)

P¹¹ = 100 (1,02)¹⁰

Penyelesaian selanjutnya harus dengan “logaritma” yang akan dibahas dalam paragraph tersendiri