MAKALAH PERSAMAAN SIMULTAN

Sistem persamaan simultan adalah sebuah sistem yang menjelaskan variabel dependen secara bersama-sama (Koutsoyiannis, 1977). Variabel-variabel yang ada dalam model persamaan simultan dapat digolongkan ke dalam dua tipe, yaitu variabel endogen (endogenous variable) dan variabel yang sudah diketahui nilainya atau variabel penjelas (predetermined variable). Variabel endogen adalah variabel tak bebas yang nilainya ditentukan di dalam sistem persamaan, walaupun variabel-variabel tersebut mungkin juga muncul sebagai variabel bebas di dalam sistem persamaan lainnya. Predetermined variable adalah variabel yang nilainya ditentukan di luar model. Secara umum bentuk structural form dari sistem persamaan simultan dapat diformulasikan sebagai berikut:

β11Y1t + β12Y2t +…+ β1MYMt +γ11 X1t +γ12X2t +…+γ1K XKt = e1t
β21Y1t + β22Y2t +… + β2MYMt + γ21 X1t + γ22 X2t +…+ γ2K XKt = e21t
βM1Y1t + βM 2Y2t + … + βMMYMt + γM1 X1t + γM 2 X2t + … + γMK XKt = eM

Dimana Y adalah variabel endogen, X adalah variabel predetermined , e adalah error random, dan t = ,2,1L,T. β dan γ diketahui sebagai koefisien structural, sedangkan M adalah variabel endogenous dan K adalah variabel predetermined dalam sistem.

Variabel endogen adalah variabel tak bebas dalam persamaan simultan yang nilainya ditentukan di dalam system persamaan, walaupun variabel-variabel tersebut mungkin juga muncul sebagai variabel bebas didalam system persamaan. Variabel endogen dianggap bersifat stokastik.

Variabel predetermined adalah variabel yang nilainya tidak ditentukan secara langsung di dalam system. Variabel ini ditetapkan lebih dulu dan nilainya ditetapkan lebih dulu (nonstokastik). Variabel predetermined terbagi menjadi dua kategori, yaitu variabel eksogen dan variabel lag endogen. Variabel lag dikategorikan sebagai predetermine dengan asumsi tidak ada korelasi serial dengan error di dalam persamaan yang mengandung variabel lag tersebut.

Koefisien structural adalah koefieisn yang terdiri dari beberapa persamaan yang dibentuk berdasarkan landasan teori. koefisien ini dapat dianggap pula sebagai model dasar.

Identifikasi Model

Identifikasi model ditentukan atas dasar “order condition” sebagai syarat keharusan dan “rank condition” sebagai syarat kecukupan. Koutsoyiannis (1977) menyatakan rumusan identifikasi model persamaan struktural berdasarkan order condition ditentukan oleh.
K – k ≥ m -1
dimana:
M = jumlah variabel endogen di dalam model simultan
m = jumlah variabel endogen di dalam persamaan tertentu
K = jumlah variabel eksogen di dalam model simultan
k = jumlah variabel eksogen di dalam  persamaan tertentu
Jika dalam suatu persamaan dalam model
menunjukkan kondisi sebagai berikut.
1. K – k > m - 1, maka persamaan dinyatakan teridentifikasi secara berlebih (overidentified)
2. K – k = m - 1, maka persamaan tersebut dinyatakan teridentifikasi secara tepat (exactly identified)
3. K – k < m - 1, maka persamaan tersebut dinyatakan tidak teridentifikasi (unidentified)
Rank condition merupakan determinan turunan persamaan struktural yang nilainya tidak sama dengan nol (Koutsoyiannis, 1977). Hasil identifikasi untuk setiap persamaan struktural haruslah exactly identified atau overidentified untuk dapat menduga parameter-parameternya.

Contoh model persamaan simultan

Ct=β0+β1Yt+εt 1

Yt=Ct+St 2

Penggunaan istilah variabel bebas dan tidak bebas tidak sesuai.

Variabel Eksogen : variabel yang nilainya ditentukan di luar model (St)

Variabel Endogen : variabel yang nilainya ditentukan dalam model (Ct dan Yt)

Model Permintaan dan Penawaran

Fungsi Permintaan

Qtd=α0+α1Pt+ε1t, α1<0

Fungsi Penawaran

Qts=β0+β1Pt+ε2t, β1>0

Equilibrium

Qtd=Qts

1. Misalkan ε1 berubah (misal daya beli, selera penduduk berubah) maka Q juga berubah.
2. Kurva permintaan akan bergeser ke atas jika ε1 positif dan bergeser ke bawah jika ε1 negatif.
3. Pergeseran kurva permintaan akan mengubah P dan Q keseimbangan.
4. Perubahan dalam ε2 (misal ada force majeur, mogok kerja, demonstrasi, pembatasan impor dll) juga akan merubah P dan Q.

1. terdapat ketergantungan secara simultan antara P, Q, ε1, dan ε2
2. terdapat korelasi antar variabel penjelas dengan error
3. metode OLS tidak dapat digunakan

OLS (Ordinary Least Square) adalah suatu metode ekonometrik dimanaterdapat variable independen yang merupakan variable penjelas dan variable dependen yaituvariable yang dijelaskan dalam suatu persamaan linier. Dalam OLS hanya terdapat satu variabledependen, sedangkan untuk variable independen jumlahnya bisa lebih dari satu. Jika variablebebas yang digunakan hanya satu disebut dengan regresilinier sederhana, sedangkan jika variablebebas yang digunakan lebih dari satu disebut sebagai regresi linier majemuk.

Model dari Keynes untuk Penentuan Pendapatan

Fungsi Konsumsi:

Ct=β0+β1Yt+εt, 0 < βt <1

Persamaan pendapatan:

Yt=Ct+It(=St)

Dari kedua persamaan di atas jelaslah bahwa C dan  saling berhubungan, terikat satu sama lain.

Y dan ε juga berkorelasi, sebab saat ε berubah maka C berubah dan selanjutnya aka mempengaruhi Y

Klein’s model I

Fungsi Konsumsi:

Ct=β0+β1Pt+β2(W+W')t+β3Pt-1+ε1t

Fungsi Investasi:

It=β4+β5Pt+β6Pt-1+β7Kt-1+ε2t

Permintaan Tenaga Kerja

Wt=β8+β9(Y+T-W')t+β10(Y+T-W')t-1+β11Kt-1+ε3t

Persamaan :Yt+Tt=Ct+It+Gt

Persamaan : Yt=W't+Wt+Pt

Persamaan : Kt=Kt-1+It

Dimana

C = konsumsi

I = Investasi         

G = pengeluaran pemerintah

P = laba

W = upah swasta

W’ = Upah/gaji pemerintah

K = Stock modal

T = pajak

t = waktu

Y = Pendapatan

ε = error

Reduced Form

Adalah persamaan yang diperoleh dengan memecahkan sistem persamaan simultan sedemikian hingga bisa dinyatakan setiap variabel endogen  dalam model hanya dari variabel eksogen

Reformulasi dari model tersebut disebut dengan bentuk turunan (reduce form) dari sistem persamaan struktural. Untuk menemukan persamaan turunan atau reduce form maka kedua persamaan harus diselesaikan  secara simultan untuk menemukan nilai (misal Y dan C)

Contoh:

Ct=α+βYt

Yt=Ct+It

Persamaan kedua dimasukkan ke persamaan pertama

Ct=α+β(Ct+It)

=α+βCt+βIt

Ct-βCt=α+βIt

Ct=α+βIt(1-β)=H0+H1It, dengan H0=α1-β

H1=β1-β

Persamaan pertama dimasukkan ke persamaan kedua

Yt=α+βYt+It

Yt-βYt=α+It

(1-β)Yt=α+It

Yt=α(1-β)+1(1-β)It

Yt=H2+H3It, dengan H2=α(1-β)

H3=1(1-β)

Jadi model sederhananya (reduced form) adalah

Ct=H0+H1It

Yt=H2+H3It

Gunakan metode kuadrat terkecil untuk mendapatkan H0, H1, H2, H3 kemudian duga α dan β

Identifikasi Model

Mengidentifikasi model sblm dilakukan estimasi

Mengetahui apakah estimasi parameter dapat dilakukan melalui persamaan reduced-form dari sistem persamaan simultan.

Persamaan Tidak Teridentifikasi (unidentified) jika estimasi parameter tidak dapat dilakukan melalui persamaan reduced-form.

Persamaan Teridentifikasi (identified) jika estimasi parameter dpt dilakukan melalui persamaan reduced-form dr sistem persamaan  simultan.

Teridentifikasi Tepat (just identfied),

Jika masing-masing nilai parameter bersifat unik (hanya mempunyai satu

nilai)

Teridentifikasi Berlebih (over identified),

Jika masing2 nilai parameter mempunyai lbh dari satu nilai.

Masalah identifikasi timbul karena kumpulan koefisien struktural yang berbeda mungkin cocok dengan sekumpulan data yang sama

• Ada dua macam dalil pengujian identifikasi, yaitu Order condition dan Rank condition. Notasi yang dipergunakan adalah:

1. M = jumlah variabel endogen dalam model
2. m = jumlah variabel endogen dalam persamaan
3. K = Jumlah variabel predetermined dalam model
4. k = Jumlah variabel predetermined dalam persamaan

Order Conditions

Pada persamaan simultan sejumlah M persamaan (yang tidak mempunyai predetermined variable)

                      M - 1 ≥ 1

Jika M-1 = 1, maka persamaan tersebut identified.

Jika M-1 > 1, maka persamaan tersebut overidentified.

Jika M-1 < 1, maka persamaan tersebut unidentified.

Contoh:

Fungsi Demand Qt = α0 + α1Pt + u1t

Fungsi Supply Qt = β0 + β1Pt + u2t

Pada model ini Pt dan Qt merupakan variable endogen tanpa predetermined variable,  agar identified maka M-1 = 1, jika tidak maka tidak  identified.

• Pada kasus ini (M = 2) dan 2 – 1 = 1 ⇒ identified
• Pada persamaan yang memiliki predetermined variable berlaku aturan:

K – k  ≥ m –1

1. Jika K – k  = m –1,  identified .
2. Jika K – k  > m –1, overidentified .
3. Jika K – k  < m –1, unidentified

Estimasi persamaan Simultan

Indirect Least Squares (ILS)

Metode ini digunakan pada persamaan struktural yang tepat teridentifikasi (exactly identified)

Asumsi yang harus dipenuhi dalam penggunaan prosedur ILS:

1. Mengubah persamaan struktural menjadi bentuk persamaan reduksi

2. Menerapkan metode OLS (Ordinary Least Square) untuk setiap persamaan reduksi.

3. Mendapatkan nilai estimasi dari koefisien struktural asli dari koefisien reduksi yang ditaksir dari langkah kedua..

Contoh:

Diketahui suatu model persamaan simultan adalah sebagai berikut :

Qd= α0 + α1 P+ α2 X + v

Qs= β0 + β1 P + β2 Pl + u

Dimana:

Qd = Jumlah barang yang diminta

Qs = Jumlah barang yang ditawarkan

P = harga barang

X = Income

Pl = harga Input

• Persamaan reduce form-nya adalah sebagai berikut :
• P= Π0 + Π1 X + Π 2  Pl +Ω1
• Q= Π 3 + Π 4 X + Π 5  Pl +Φ2

Two Stage Least Square (2SLS/ Metode Kuadrat Terkecil Dua Tahap)

Two Stage Least Square (2SLS) adalah salah satu metode regresi yang termasuk ke dalam kelompok analisis persamaan struktural. Metode ini merupakan perluasan dari metode OLS yang biasa digunakan dalam perhitungan anlsisi regresi. 2SLS digunakan dalam kondisi dimana terdapat korelasi antara error yang dihasilkan dalam model berkorelasi dengan variabel bebasnya.

2SLS digunakan untuk memperoleh nilai parameter struktural pada persamaan yang teridentifikasi berlebih. Metode ini dapat diterapkan pada suatu sistem persamaan individu dalam sistem tanpa memperhitungkan persamaan lain secara langsung dalam sistem.

Share this post