MAKALAH FUNGSI LINIER - MATEMATIKA

Pengertian dan Bentuk Umum

Funsi Linear adalah fungsi pangkat satu yaitu suatu fungsi dimana veriabel besarnya paling paling tinggi berpangkat satu.

Fungsi linear disebut juga funsi garis lurus karena grafik fungsi linear apabila digambarkan selalu menggambarka garis lurus.

Bentuk umum fungsi linear : Y = ax + b

x = Variabel bebas

y = variabel tak bebas

a = slope atau koefisien arah

b = intercept

      yaitu penggal gari pada sumbu y apabila x = 0

Untuungsi k menggambarkan grafik fungsi linear seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, secara sederhana dapat dilakukan dengan cara melukiskan dengan dua titik yang akan ilalui kemudian tariklah gars lurus melalui kedua titik tersebut.

Diketahui  : Y = 2x + 6

Diminta     : Lukiskan grafiknya

Jawab        : Dengan tracing proses, lebih dahulu dibuat tabel x dan y sebagai berikut :

5..1.1. Perubahan bentuk umum fungsi linear Y = ax + b

         1. Fungsi linear yang melalui satu titik, dengan koefisien arah tertentu.

Katakan titik yang dilalui adalah P (X₁, Y₁) dengan koefisien arahnya a.

Maka fungsi linear dapat ditentukan sebagai berikut :

Bentuk umum fungsi linie : Y = ax + b

Garis yang melalui A         : Y1 = ax₁ + b – (x₁ ’ y₁)

                                                Y-Y1 = ax – ax1

                                                Y-Y1 = a (x – x1)

Contoh :

Diketahui           : Titik P (8, 3)

Ditanykan          : -Fungsi linear yang melalui titik P apabila koefisien arahnya = 2

                             -Gambarkan grafiknya

Jawab                 : Fungsi linear yang melalui satu titk Y – Y₁ = a (x, - x₁).

  Kaena melalui titik P (8, 3) dengan koefisien arah a = 2

Maka                  : Y – 3 = 2 (x – 8)

                             Y – 3 = x – 16

                                    Y= 2x – 13

Grafik                 : Y = x – 13

Pada saat garis memotong sumbu Y, x = 0

Y = 2.0 – 13

    = -13, didapat titik (0, -13)

Pada saat garis memotong sumbu X, y = 0

0   = 2x -13

2x = 13

  x = 6½, didapat titik (6½, 0)

2. Fungsi linear yang melalui titik pusat

0 (0, 0) dengan koefisien arah tertentu.

Katakana garis yang melalui titik 0 (0, 0) memiliki koefisien arah = a

Maka fungsi linearnya sebagai berikut :

Fungsi linear melalui satu titik :

Y – 0 = a (x – 0)    Y = ax

Contoh : lukiskan grafik fungsi linear yang melalui titik 0 (0, 0) dengan koefisien arah = 3

Jawab : fungsi yang dimaksud Y = 3x

3. Fungsi linear yang melalui titik.

Misalkan dua titik yang dilalui adalah P (x₁, y₁) dan Q (x₂, y₂).

Maka fungsi linear dirumuskan sebagai berikut :

Bentuk umum fungsi linear Y = ax + b

Melalui Q (x₂, y₂) :     Y_{2 =} ax₂ + b

Melalui P (x1, y1) :    Y₁ = ax₁ + b                

                                             Y₂ – Y₁ = a (x₂ – x₁)

                                             y₂ – y₁

                                 a =                   …………….. (1)

                                             x₂ – x₁ 

Garis yang melalui P (x₁, y₁) adalah = Y – Y₁ = a (x – x₁) ……………... (2)

Substitusi a dari persamaan (1) pada persamaan (2) akan didapat fungsi linear yang melalui

P (x₁, y₁) dan Q (x₂, y₂) yaitu :

                    y₂ – y₁

Y – Y₁ =                           (x – x₁)

                    x₂ – x₁

    Y – Y₁              x – x₁

                  =

  Y₂ – Y₁               x₂ – x₁

Sehingga fungsi linear yang melalui 2 titik dapat dirumuskan :

         Y – Y₁         x – x₁

                       =

         Y₂ – Y₁        x₂ – x₁

Contoh :

Diketaui         : titik P (2, 3) dan Q (6, 7)

Ditanya          : - fungsi linear yang melalui PQ

                         - gambar grafiknya

Jawab             : P (2, 3) : x₁ = 2

                                                    y₁ = 3

                       Q (6, 7) : x₂ = 6

                                               y₂ = 7

Fungsi linear yang melalui PQ :

Y – 3               x – 2

 

7 – 3               6 – 2

  Y – 3 = 4x – 8

 

                 4

Y = x + 1

 

5.1.2. Hubungan dua fungsi linear.

1. Dua fungsi linear yang sejajar.

Dua garis yang sejajar koefisien arahnya pasti sama.

Katakana misalnya akan menentukan satu garis yang melalui P (x₁, y₁) dan sejajar dengan garis Y = ax + b.

Maka garis yang melalui titik P tersebut koefisien arahnya juga = a.

Sehingga dengan koefisien arah a dan satu titik yang dilalui P (x1, y1), fungsinya dapat ditentukan yaitu :

Contoh :

Diketahui      : garis 1 = Y = 2x + 5

Ditanya         : -fungsi garis g yang melalui titik P (4, 2).

                       -gambarkan grafiknya

Jawab           : garis g yang sejajar dengan Y = 2x + 5 koefisien arahnya = 2

                     Sehingga fungsi garis g yang melalui P (4, 2) = Y – 2 = 2 (x – 4)

                      Y = 2x – 6

2. Dua fungsi linear yang berpotongan

Dua garis berpotongan apabila memiliki titik persekutuan.

Syarat berpotongan bahwa koefisien arah garis yang ke satu tidak sama dengan koefisien arah garis yang ke dua.

Katakana misalnya :

Garis 1 : Y = ax + b

Garis g : Y = a₁x + b₁

1 berpotongan dengan g apabila a ≠ a¹ untuk mendapatkan titik potong ke dua garis dapat dicari dengan mengeleminasi Y sebagai berikut :

Ax + b = a₁x + b₁

Ax – a₁x = b1 b

(a – a₁) x = b₁ – b

                    a - a₁

Maka  titik potong :

Ordinat titik potong =

Y_e = a x_e + b

     = a b₁ – b

         a – a1

     = ab₁ – a_b + a_b – a₁b

                  a – a₁

Contoh :

Diketahui : Garis 1 : Y = x + 2

Garis g : Y = 2x + 6

Diketahui : - koordinat titik potong garis 1 dan garis g.

- Gambarkan grafiknya.

Jawab : a. Dengan cara mengeleminasikan Y = x + 2 = 2x + 6

x = -4

Y = x + 2

Untuk x = -4

Y = -4 + 2

= -2

Jadi potongnya (-4, -2

b. Dengan cara langsung menggunakan rumus :

Untuk Y = x + 2         :   a = 1

    b = 2

Untuk Y = 2x + 6       : a₁ = 2

                                   b₁ = 6

         b₁ – b               ab₁ – a₁b

xe =              Y_e =

         a – a₁                  a – a₁

     6 – 2                1.6 – 2.2

=                   =

                       1 – 2                     -1 2

                    = -4               = -2

Jadi titik potongannya : (-4, -2)

Grafiknya :

Y = x + 2

      3. Dua fungsi linear saling tegak lurus.

Dua garis tegak lurus satu pada yang lain apabila koefisien arah garis yang satu dikalikan koefisien arah garis yang ke dua hasilnya = -1

Katakana misalnya :

Garis m = Y = a_x + b

Garis n  = Y = a₁x + b₁

Garis m tegak lurus pada garis n atau sebaliknya apabila a. a1 = -1

Contoh :

Diketahui : fungsi garis m : Y = 2x – 3

Ditanya    : - fungsi garis yang melalui titik P (8,4) dan tegak lurus pada garis m.

                                        - gambarkan grafiknya.

Jawab : Apabila koefisien arah garis yang dicari = a

Sedang koefisien arah garis m = 2

Maka : 2. a = -1

a = -½

  Dengan melalui titik P (8,4), berarti fungsi garis yang dimaksud :

Y – y₁ = a (x –x₁)

Y – 4   = -½ (x – 8)

Y – 4   = -½x + 4

      Y   = -½ + 8

Share this post